A terra plana

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Para compreender o espaço a quatro dimensões devemos olhar atentamente para o processo que nos permite compreender objectos tridimensionais a partir de desenhos no plano. A forma como, a partir desses desenhos bidimensionais, nós formamos imagens mentais de objectos a três dimensões serve de base para tentar, a partir de imagens tridimensionais, criar representações mentais de objectos a quatro dimensões. Um estudo cuidadoso das dimensões dois e três e, em particular, do processo de passagem de um caso para o outro, são essenciais.

Para compreender o hipercubo tetradimensional devemos, então, considerar o cubo tridimensional e o seu correspondente a duas dimensões, o quadrado. Na realidade podemos ir mais longe e considerar o análogo unidimensional, o segmento de recta, e mesmo o ponto, que é a versão de dimensão nula. Esta família de objectos--o ponto, o segmento, o quadrado, o cubo e o hipercubo--é uma colecção maravilhosa de objectos interrelacionados cujas relações agora investigamos.

A primeira observação é que as versões de menor dimensão são partes constitutivas das de dimensão superior. Por exemplo, o cubo tem faces que são quadrados, o quadrado tem arestas que são segmentos, o segmento tem extremos que são pontos. Isto sugere que o hipercubo terá faces cúbicas, o que é o caso. Assim como o cubo tem faces quadradas que se encontram em segmentos (arestas) e pontos (vértices), o hipercubo tem faces cúbicas que se unem segundo as respectivas faces quadradas que se encontram em segmentos e pontos. Mas quantas faces tem o hipercubo, e como se relacionam elas entre si? Para o compreender melhor vamos contar as suas partes.

Comecemos por olhar de novo para os análogos de dimensão menor. Para facilitar vamos chamar ``cubos'' a todos os objectos, mas identificar a respectiva dimensão. Assim, o 3-cubo é o cubo usual, o 2-cubo é o quadrado, o 1-cubo o segmento e o 0-cubo o ponto. O hipercubo é portanto o 4-cubo. Esta notação permite-nos falar do n-cubo se não quizermos particularizar nenhum deles. Assim podemos enunciar facilmente propriedades que todos os n-cubos satisfazem.

A nossa primeira observação é que o n-cubo pode ser formado movendo o (n-1)-cubo numa direcção que lhe seja perpendicular. Por exemplo, movendo um segmento de comprimento unitário (1-cubo) uma unidade numa direcção perpendicular ao segmento obtemos um quadrado (2-cubo). De forma semelhante, se movermos um quadrado unitário uma unidade numa direcção que lhe seja perpendicular, geramos um cubo (3-cubo). O mesmo vale até para pontos: se movermos um ponto numa direcção, percorremos um segmento. A sequência é clara: um ponto move-se formando um segmento, um segmento move-se formando um quadrado, um quadrado move-se gerando um cubo. A conclusão é agora evidente: se movermos um cubo, numa direcção que lhe seja perpendicular, percorremos um hipercubo.

A dificuldade está em encontrar esta direcção. Ela não existe no nosso mundo tridimensional. O primeiro passo na quarta dimensão consiste em imaginar esta nova direcção. Se bem que não tenha correspondência no nosso mundo físico, podemos elaborar sobre as propriedades que tal conjunto de quatro dimensões deve possuir: cada uma deve ser ortogonal às outras três. Como a nossa realidade física não comporta tais dimensões, a nossa ideia de um hipercubo será sempre incompleta ou distorcida.

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Coloquemo-nos no lugar de um ser bidimensional e tentemos entender a terceira dimensão, a nossa terceira dimensão.
Talvez se entendermos essa dificuldade nos seja mais fácil visualizar mentalmente um espaço de quatro dimensões geométricas.

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